8. Działania pisemne na liczbach naturalnych

8.1. DZIELENIE Z RESZTĄ

Dzieląc liczbę całkowitą a przez liczbę całkowitą b otrzymujemy wynik. Jeśli liczba b mieści się równo w liczbie a to wtedy nie ma reszty z dzielenia (lub wynosi 0). Jeśli jednak liczba b mieści się w liczbie a określoną ilość razy i jeszcze coś zostanie (mniej niż b) to to co zostaje to jest reszta z dzielenia.

DZIELNA : DZIELNIK = ILORAZ R RESZTA

10 : 4 = 2 reszty 2

Przykłady:

• 15 : 3 = 5, bo 5 x 3 = 15, bez reszty
• 15 : 2 = 7 reszty 1, bo 7 x 2 +1 = 15
• 25 : 4 = 6 reszty 1, bo 6 x 4 + 1 = 25

8.2. DODAWANIE PISEMNE

Dodawanie pisemne trzeba zacząć od poprawnego zapisania liczb, które dodajemy. Zasada jest taka, że pozycje jedności pierwszej liczby muszą znajdować się nad pozycjami jedności drugiej liczby. Tak samo z następnymi pozycjami – dziesiątek, setek, tysięcy itd. Czyli muszą być tak jakby przyrównane do prawej strony.

Gdy mamy dobrze zapisane liczby, zaczynamy dodawać od prawej strony. Zaczynamy od pozycji jednostek. Gdy wynik dodawania tych pozycji jest mniejszy od 10 wpisujemy pod kreską wynik i dodajemy następne pozycje. Gdy wynik dodawania pozycji jest równy lub większy od 10, wpisujemy pod kreskę cyfrę jednostek, a cyfrę dziesiątek dodajemy do następnej pozycji dodawanych liczb. Najlepiej widać to na animacji poniżej. Cyfry oznaczane na czerwono dodajemy.

8.2. ODEJMOWANIE PISEMNE

Podobnie jak w przypadku dodawania ważne jest odpowiednie zapisanie liczb – pozycje jednostek nad pozycjami jednostek itd. Odjemna musi być u góry zapisu, a odjemnik na dole. (Odjemna to liczba od której odejmujemy, a odjemnik to liczba, którą odejmujemy) Gdy mamy już poprawnie zapisne odejmujemy od siebie poszczególne pozycje- od górnej pozycji odejmujemy dolną. Jeśli górna pozycja jest większa od dolnej, to odejmujemy i wpisujemy wynik pod kreską. Jeśli górna pozycja jest mniejsza od dolnej, to dopisujemy 1 z lewej strony górnej cyfry i wtedy można już odjąć ( na animacji poniżej jest 4 i 6 w pozycjach dziesiątek, po dopisaniu 1 z lewej strony mamy 14 i 6, czyli wykonujemy odejmowanie 14 – 6). Tą jedynkę, która została dopisana trzeba jednak odjąć od następnych pozycji – setek w przypadku animacji. Mamy odejmowanie 5 – 3 i trzeba jeszcze odjąć 1 (zapisane u góry jako -1). Jeśli pod górną pozycją nie ma odpowiadającej pozycji dolnej i nie odejmujemy jakiejś zaległej jedynki – przepisujemy ją pod kreską.

8.3. MNOŻENIE PISEMNE

Pisemne mnożenie jest trochę bardziej skomplikowane. Najpierw trzeba dobrze zapisać liczby. Tak jak w poprzednich działaniach – pozycja jednostek nad pozycją jednostek itd.W przypadku mnożenia nie ma znaczenia który czynnik napiszemy u góry, a który na dole. Mniej kroków jest jednak kiedy większy czynnik zapiszemy u góry.

Zaczynamy od mnożenia pozycji jednostek dolnej liczby przez poszczególne pozycje górnej liczby. I teraz tak samo jak w dodawaniu – gdy wynikiem jest liczba jednocyfrowa, po prostu zapisujemy pod kreską, a gdy dwucyfrowa – przenosimy pozycję dziesiątek wyniku nad kolejną pozycję górnego czynnika. Będziemy ją dodawać do wyniku z mnożenia następnej pozycji. W taki sposób musimy też przemnożyć następne pozycje – pozycje dziesiątek dolnej liczby przez wszystkie pozycje górnej itd. pamiętając, że wynik piszemy w tym miejscu pod pierwszym wynikiem gdzie znajduje się pozycja przez którą mnożymy górną liczbę. Gdy przemnożymy, wychodzi nam kilka wyników jeden pod drugim. Gdy mnożyliśmy przez liczbę jednocyfrową- będziemy mieć jeden wynik – to juz jest wynik mnożenia. Gdy przez dwucyfrową – dwa wyniki – które jeszcze musimy do siebie dodać – i mamy dopiero wynik mnożenia.

Opis wydaje się dosyć skomplikowany. Najlepiej zobaczyć animację.

8.4. DZIELENIE PISEMNE

Kolejne kroki przy dzieleniu pisemnym:

1. Zapisujemy działanie – dzielna i dzielnik obok siebie ze znakiem dzielenia między nimi. Nad dzielną piszemy kreskę.
2. Sprawdzamy czy można podzielić liczbę będącą pierwsza cyfrą dzielnika od lewej przez dzielnik. Jeśli się nie da, to dokładnie nad tą cyfrą dzielnej piszemy nad kreską znak „=”. Wtedy bierzemy pod uwagę liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr od lewej. Jeśli da się podzielić, to wynik tego dzielenia wpisujemy nad kreskę obok znaku „=” po prawej stronie (pozycja dokładnie nad drugą od lewej cyfrą dzielnej). Jeśliby się nie dało to bierzemy pod uwagę kolejną cyfrę i robimy to samo co wcześniej.
3. Jeśli udało się podzielić to teraz mnożymy ten wynik nad kreską przez dzielnik, a wynik tego mnożenia zapisujemy pod dzielną. Pozycje muszą być takie same jak pozycje liczby którą dzieliliśmy. Teraz odejmujemy wynik ostatniego mnożenia od liczby która jest wyżej.
4. Wynik odejmowania ponownie dzielimy przez dzielną – powtarzamy krok 2, dopóki nie otrzymamy różnicy 0 lub liczby której już nie będzie się dało podzielić przez dzielną – to będzie reszta z dzielenia.
5. Na samej górze nad kreską otrzymujemy wynik dzielenia.